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深度前馈网络与非线性分类问题

深度前馈网络（Deep Feedforward Network），又称前馈神经网络（Feedforward Neural Network）或多层感知机（Multilayer Perceptron，MLP），是一种典型的机器学习模型。其核心思想是通过多层的非线性变换，将简单的单元组合起来，来表示复杂的函数关系。

网络结构

深度前馈网络的主要组成部分包括：

• 输入层（Input Layer）：接收输入信号。
• 隐藏层（Hidden Layer）：通过激活函数处理信号，增加模型的非线性表示能力。
• 输出层（Output Layer）：产生最终的预测或分类结果。

隐藏层的层数和每层的神经元数量共同决定了模型的宽度（Width）。例如，一个经典的二层神经网络模型，其结构通常是输入层-隐藏层-输出层。

线性分类问题的局限

线性分类问题是机器学习中的基础任务之一。所有数据样本满足一个线性方程，可以通过简单的直线划分。然而，这种线性模型存在明显的局限性。

例如，通过逻辑运算来实现AND、OR、NOR逻辑关系时，线性模型是可以拟合的。但是，对于XOR异或逻辑，这是一个典型的非线性问题，无法通过单一直线实现。

解决非线性问题的方法

为了解决线性分类问题的局限，机器学习引入了两种主要方法：

激活函数

激活函数是模型非线性化的核心。通过对线性求和结果再施加激活函数，可以将复杂的非线性关系学习进模型。

常用的激活函数包括：

• Sigmoid：输出范围在(0,1)，适合二分类问题。
• Tanh：输出范围在(-1,1)，与Sigmoid类似。
• ReLU：线性整流函数，输出为0（当输入<0时）或等于输入（当输入>0时），无饱和现象。
• ELU：对ReLU的改进版，通过输出一个指数函数解决输入<0时的梯度问题。
• Leaky ReLU：在输入<0时输出一个小的正数，提高模型的鲁棒性。

反向传播

反向传播（Backpropagation）是深度学习中最重要的算法之一。通过计算误差对权重的梯度，可以实现参数的优化，逐步减小损失函数的值。

反向传播的核心方程：[ w = w - η \frac{∂E}{∂w} ]其中，( η ) 是学习率。

损失函数

损失函数是衡量模型预测值与真实值差异的度量。常用的损失函数包括：

• 均方误差（MSE）：适用于回归问题。
• 交叉熵损失（CE）：适用于分类问题。

对于二分类问题，交叉熵损失函数的形式为：[ E = -t \log(z) - (1 - t) \log(1 - z) ]其中，( z = \frac{1}{1 + e^{-s}} ) 是Sigmoid激活函数的输出。

常见面试题

通过理解这些核心概念，可以更好地掌握神经网络的原理和实现。

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